شگفتی آور است که خبر و شایعه با چه سرعتی در شهر منتشر می شود!گاهی از زمانی که تنها چند نفر از یک خبر اطلاع داشته اند حتی دو ساعت هم نمی گذرد که دیگر تمام شهر از آن مطلع شده اند همه آن را شنیده اند.
سرعت غیر عادی این انتشار عجیب به نظر می رسد مثل یک معما. ولی اگر وارد محاسبه شویم روشن می شود که هیچ معمایی در این جا وجود ندارد همه چیز مربوط به ویژگی های عدد است و هیچ جنبه ی رمز آمیزی در خود شایعه خبر وجود ندارد.
ساعت ۸صبح ، یکی از اهالی پایتخت به یک شهر ۵۰ هزار نفری وارد می شود او حامل یک خبر جدید است در منزلی که او وارد می شود فقط سه نفر از مردم شهر ساکن هستند و او این خبر را برای آن ها بازگو می کند فرض می کنیم این کار یک ربع ساعت طول بکشد.
به این ترتیب در ساعت هشت و ربع صبح ۴ نفر از مردم شهر از خبر جدید آگاه شده اند یکی مسافر و سه نفر هم ساکنان منزل.
هر یک از سه نفری که خبر جدید را شنیده اند به نوبه ی خود برای سه نفر دیگر از هم شهری هایشان بازگو می کنند و این هم یک ربع ساعت طول می کشد بنابراین نیم ساعت بعد از ورود خبر جدید به شهر تعداد ۱۳=(۳×۳)+۴ نفر از آن اطلاع دارند.
هر یک از این ۹ نفری که تازه از خبر اطلاع پیدا کرده اند در یک ربع ساعت بعد ، با سه نفر دیگر از هم شهری هایشان صحبت می کنند و به این ترتیب در ساعت هشت و سه ربع صبح تعداد کسانی که از این خبر با اطلاع اند چنین است
۴۰=(۹×۳)+۱۳
اگر انتشار خبر را به همین طریق دنبال کنیم یعنی فرد جدیدی که خبر را می شنود در عرض یک ربع ساعت به سه نفر دیگر اطلاع دهد تعداد افرادی از شهر که در ساعت های مختلف خبر را شنیده اند به ترتیب زیر خواهد بود:
نفر۱۲۱=(۲۷×۳)+۴۰ در ساعت ۹ صبح
نفر۳۶۴ =(۸۱×۳)+۱۲۱در ساعت ۹ و ربع
نفر۱۰۹۳=(۲۴۳×۳)+۳۶۴در ساعت ۹ و نیم
همان طور که می بینیم بعد از گذشت یک ساعت و نیم از آغاز پخش خبر تنها نزدیک ۱۱۰۰ نفر از اهالی آن را شنیده اند و این در مقابل جمعیت ۵۰ هزار نفری شهر رقم جالب توجهی نیست ممکن است این طور به نظر برسد که به این زودی ها همه ی مردم شهر با خبر از جریان نخواهند شد ولی به همین ترتیب انتشار خبر را دنبال می کنیم:
نفر۳۲۸۰=(۷۲۹×۳)+۱۰۹۳در ساعت ۹ و چهل و پنج دقیقه
نفر۹۸۴۱=(۲۱۸۷×۳)+۳۲۸۰در ساعت ۱۰صبح
و بعد از یک ربع ساعت دیگر بیشتر از نصف مردم شهراز خبر جدید آگاه شده اند:
۲۹۵۲۴=(۶۵۶۱×۳)+۹۸۴۱
و این به معنای آن است که در حدود ساعت ده و نیم دیگر همه ی مردم شهر بزرگ ، خبری را که ساعت ۸ صبح تنها یک نفر از آن با اطلاع بود می دانند.
حالا ببینیم محاسبه ی گذشته را چگونه انجام دادیم . در حقیقت عددهای زیر را با هم جمع کردیم:
….+(۳×۳×۳×۳)+(۳×۳×۳)+(۳×۳)+۳+۱
آیا نمی توان این مجموع را مثل مجموع عدد های ….+۸+۴+۲+۱به روش ساده ای معین کرد؟به شرطی که ویژگی این عددها را به شکلی که در زیر مشخص کرده ایم در نظر بگیریم می توان روش محاسبه ی ساده را پیدا کرد:
۱=۱
۱+۲×۱=۳
۱+۲×(۳+۱)=۹
۱+۲×(۹+۳+۱)=۲۷
۱+۲×(۲۷+۹+۳+۱)=۸۱
به زبان دیگر هر عدد از این رشته اعداد برابر است با دو برابر مجموع تمام عدد های قبلی به اضافه ی یک .
از این جا نتیجه می شود که اگر بخواهیم مجموع همه ی عددهای این رشته را تا هر عدد دلخواه به دست آوریم کافی است به این عدد نصف خودش را اضافه کنیم (به شرطی که قبلا یک واحد از آن کم کرده باشیم)
مثلا مجموع عددهای ۷۲۹+۲۴۳+۸۱+۲۷+۹+۳+۱برابر است با مجموع ۷۲۹ با نصف ۷۲۸ یعنی
۱۰۹۳=۳۶۴+۷۲۹
در مثالی که آوردیم هر کسی که از خبر جدید آگاهی پیدا می کرد آن را تنها با سه نفر از هم شهری های خود در میان می گذاشت ولی اگر ساکنین را پر حرف تر فرض کنیم به طوری که هر یک از آن ها به جای سه نفر با ۵ نفر یا حتی ۱۰ نفر دیگر از خبر جدید صحبت می کرد البته شایعه با سرعت بسیار بیشتری پراکنده می شد.
اگر فرض را بر این بگیریم که هر نفر با ۵ نفر دیگر شایعه را در میان بگذارد وضع پخش خبر بین اهالی شهر در ساعت های مختلف خواهد بود:
نفر۱=در ساعت ۸ صبح
نفر۶=۵+۱در ساعت ۸:۱۵
نفر۳۱=(۵×۵)+۶در ساعت ۸:۳۰
نفر ۱۵۶=(۵×۲۵)+۳۱در ساعت ۸:۴۵
نفر۷۸۱=(۵×۱۲۵)+۱۵۶در ساعت ۹
نفر۳۹۰۶=(۵×۶۲۵)+۷۸۱در ساعت ۹:۱۵
نفر ۱۹۵۳=(۵×۳۱۵)+۳۹۰۶در ساعت ۹:۳۰
و قبل از این که ساعت به ۹:۴۵ برسد همه ی اهالی شهر از خبر جدید اطلاع داشتند.البته اگر هر کسی خبر جدیدی را که می شنود با ۱۰ نفر در میان بگذارد شایعه با سرعت باز هم بیشتری پخش خواهد شد در این حالت یک اتفاق جالبی هم برای اعداد می افتد
نفر۱=در ساعت ۸ صبح
نفر۱۱=۱۰+۱در ساعت ۸:۱۵
نفر۱۱۱=۱۰۰+۱۱در ساعت ۸:۳۰
نفر۱۱۱۱=۱۰۰۰+۱۱۱در ساعت ۸:۴۵
نفر۱۱۱۱۱=۱۰۰۰۰+۱۱۱۱در ساعت ۹ صبح
روشن است که عدد بعدی این رشته اعداد، ۱۱۱۱۱۱می باشد و این به معنای آن است که در آستانه ی شروع ساعت ۱۰ صبح همه ی اهالی شهر از خبر جدید اطلاع خواهند داشت و شایعه در طول نزدیک یک ساعت همه جا را فرا می گیرد